Назад

ⓘ Энциклопедия | Математика и изобразительное искусство - Вики ..

Бесплатно и без рекламы
не нужно скачивать или устанавливать

Pino - логическая онлайн игра, в основе которой находится тактика и стратегия. Это ремикс на шахматы, шашки и уголки. Игра развивает воображение, концентрацию внимания, учит решать поставленные задачи, планировать свои действия и логически мыслить. Не важно сколько у вас фишек, главное как они размещены!

интеллектуальная игра онлайн 🡒
Математика и изобразительное искусство
                                     

ⓘ Математика и изобразительное искусство

English version: Mathematics and art

Математика и искусство связаны друг с другом множеством способов. Математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота. Следы математического мышления проявляются в музыке, танце, живописи, архитектуре, скульптуре и тканном искусстве. Данная статья посвящена связи математики с изобразительным искусством.

Математика и искусство имеют длительную историю взаимоотношений. Живописцы прибегали к математическим концептам с IV века до н. э., когда греческий скульптор Поликлет Старший написал свой "Канон", где рекомендовал пропорцию 1:√2 для изображения нагого мужчины. Неоднократно высказывались догадки об использовании античными художниками и архитекторами золотого сечения, однако серьёзных подтверждений этому нет. Итальянский математик Лука Пачоли, важная фигура итальянского Возрождения, написал трактат "О божественной пропорции" итал. De divina proportione, иллюстрированный ксилографиями Леонардо да Винчи. Другой итальянский живописец Пьеро делла Франческа развил идеи Евклида о перспективе, написав трактат "О перспективе в живописи" итал. De Prospectiva Pingendi. Гравёр Альбрехт Дюрер неоднократно делал математические ссылки в своей "Меланхолии". График XX века М. К. Эшер, консультируемый математиком Гарольдом Коксетером, широко применял образы паркета и гиперболической геометрии. Художники движения "Де Стейл" во главе с Тео ван Дусбургом и Питом Мондрианом явным образом использовали геометрические мотивы. Математика оказала влияние на различные формы вязания, вышивки, ткачества и ковроделия. Для исламского искусства характерны симметрии, присутствующие в персидских и марокканских кладках, перфорированных каменных ширмах Великих Моголов, распространённых сотовых сводах.

Именно математика снабдила художников такими инструментами, как линейная перспектива, анализ симметрий и передала им всевозможные геометрические объекты, например, многогранники или ленту Мёбиуса. Преподавательская практика вдохновила Магнуса Веннинджера на создание разноцветных звёздчатых многогранников. В картинах Рене Магритта и гравюрах Эшера используются рекурсии и логические парадоксы. Компьютерным формам искусства доступна фрактальная графика, в частности, визуализация множества Мандельброта. В некоторых работах иллюстрируются клеточные автоматы. Художник Дэвид Хокни высказал горячо оспариваемую гипотезу о применении его коллегами камеры-люциды ещё со времён Возрождения - она помогала точно изобразить место действия. Архитектор Филип Стедмэн утверждает, что Ян Вермеер задействовал камеру-обскуру.

Связь между математикой и искусством выражается и во многом другом. Предметы искусства подвергаются алгоритмическому анализу с помощью рентгенофлуоресцентной спектроскопии. Было установлено, что традиционный батик со всех уголков Явы имеет фрактальную размерность от 1 до 2. Наконец, искусство дало толчок некоторым математическим исследованиям. Филиппо Брунеллески сформулировал теорию перспективы, делая архитектурные чертежи, а позже Жерар Дезарг развил её, заложив основы проективной геометрии. Пифагорейская идея о Боге-геометре созвучна принципам сакральной геометрии, которая также нашла отражение в искусстве. Характерный пример - "Великий архитектор" Уильяма Блейка.

                                     

1.1. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Поликлетовы "Канон" и "симметрия"

Поликлет Старший ок. 450 - 420 годов до н. э. - греческий скульптор аргосской школы, современник Фидия. Его работы - в большинстве изображения атлетов - исполнялись преимущественно в бронзе. Согласно философу и математику Ксенократу, создатель Дорифора и статуи Геры в аргосском Герайоне считался одним из крупнейших скульпторов античности. Хотя его произведения и уступали в известности скульптурам Фидия, они получили широкое признание среди ценителей. В своём трактате "Канон" Поликлет излагает математический подход к ваянию человеческого тела, и в качестве приложения к книге создаёт того самого копьеносца, известного впоследствии под именем Дорифора. По замыслу автора "Канон" должен был установить стандарт идеальных анатомических пропорций в изображении мужской наготы.

Все измерения человеческого тела он соотносит с дистальной фалангой мизинца. Чтобы рассчитать длину средних фаланг Поликлет умножает длину дистальной на квадратный корень из двух √2. Проделав эту операцию ещё раз, он определяет идеальную длину проксимальной фаланги. Затем он умножает длину пальца на √2 и получает длину ладони от основания пальца до локтевой кости. Данный геометрический ряд продолжается, и Поликлет рассчитывает измерения руки, груди, туловища и т. д.

Влияние "Канона" распространилось на скульптуру Древней Греции, Древнего Рима и Возрождения. Ни одна из работ Поликлета не дошла до наших дней, однако существуют математически точные римские мраморные копии. Утрачен был и сам текст трактата, хотя цитаты и комментарии античных авторов сохранились. Некоторые исследователи утверждают, что Поликлет в свою очередь испытал влияние пифагорейства. "Канон" оперирует основными концепциями древнегреческой геометрии: отношением, пропорцией и симметрией. Система "Канона" позволяет описать человеческую фигуру посредством непрерывных геометрических прогрессий.

                                     

1.2. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Перспектива и пропорция

В античный период художники не прибегали к линейной перспективе. Размер объектов был обусловлен не их отдалённостью, но тематической важностью. Некоторые живописцы Средневековья использовали обратную перспективу для привлечения внимания к особо значимым фигурам. В 1021 году исламский математик Ибн аль-Хайсам сформулировал теорию оптики, однако к предметам искусства её не применял. Эпоха Возрождения связана с реставрацией древнегреческой и древнеримской культурных традиций. Возродилась и идеи о применении математики для изучения природы и искусства. Художники позднего Средневековья и Ренессанса интересовались математикой по двум причинам. Во-первых, живописцы желали знать, как верно изображать трёхмерные объекты на двумерной поверхности холста. Во-вторых, деятели искусств, как и некоторые философы, верили в математику как истинную суть физического мира; изобразительное искусство как часть этой Вселенной подчинено законам геометрии.

Зачатки перспективы наблюдаются у Джотто 1266 - 1337, который писал отдалённые объекты, алгебраически определяя положение линий в перспективе. В 1415 году архитектор Филиппо Брунеллески вместе с другом Леоном Баттистой Альберти представили во Флоренции геометрический метод создания перспективы. Применяя подобные треугольники Евклида, они высчитывали видимую высоту отдалённых объектов. Картины с перспективой самого Брунеллески утрачены, однако "Троица" Мазаччо позволяет увидеть принцип в действии. Итальянский живописец Паоло Уччелло 1397 - 1475 был пленён новой техникой. В "Битве при Сан-Романо" он разместил сломанные копья между линиями перспективы.

Творчество Пьеро делла Франческа ок. 1415 - 1492 служит примером перехода итальянского Ренессанса к новой идеологии. Будучи крупным математиком и, в частности, геометром, он писал труды по стереометрии и теории перспективы. В их числе "О перспективе в живописи" итал. De Prospectiva Pingendi, "Трактат о счётах" итал. Trattato dAbaco и "О правильных многогранниках" итал. De corporibus regularibus. Историк Джорджо Вазари в "Жизнеописаниях" называет Пьеро "величайшим геометром своего времени, а, может, и всех времён". Интерес Пьеро к перспективе виден в его работах "Полиптих святого Антония", "Алтарь святого Августина" и "Бичевание Иисуса Христа". Его геометрические изыскания повлияли на следующие поколения математиков и художников, среди которых были Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Известно, что Пьеро изучал работы древних математиков, в том числе Архимеда. Пьеро обучался коммерческой арифметике в "школе абака" ; его трактаты оформлены в том же стиле, что и учебники "школы". Возможно, Пьеро был знаком с "Книгой Абака" 1202 Фибоначчи. Линейная перспектива постепенно проникала в мир искусства. В трактате "О живописи" итал. De pictura, 1435 Альберти писал: "лучи света идут от точек на картине к глазу вдоль прямой линии, формируя пирамиду, где глаз есть вершина". Картина, написанная по принципу линейной перспективы есть разрез этой пирамиды.

В труде "О перспективе в живописи" Пьеро преобразует свои эмпирические наблюдения о перспективе в математические выражения и доказательства. Следуя Евклиду, он определяет точку как "мельчайший уловимый глазу объект" итал. una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere.Пьеро подводит читателя к представлению трёхмерных тел на двумерной поверхности с помощью дедуктивных умозаключений.

Современный художник Дэвид Хокни утверждает, что с 1420-х годов его коллеги применяли камеру-люциду, что привело к резкому повышению точности и реалистичности картин. Он считает, что этим приспособлением пользовались и Энгр, и ван Эйк, и Караваджо. Мнение экспертов по этому вопросу расходится. Архитектор Филип Стедмэн озвучил ещё одну спорную гипотезу об использовании Вермеером камеры-обскуры.

В 1509 году Лука ок. 1447 - 1517 опубликовал трактат "О божественной пропорции", посвящённый математическому и художественному аспектам пропорции, в том числе и человеческого лица. Леонардо да Винчи 1452 - 1519, учившийся у Пачоли в 1490-х годах, иллюстрировал его текст ксилографиями правильных многогранников. Каркасные изображения многогранников, сделанные да Винчи, - первые дошедшие до нас иллюстрации такого характера. Одним из первых он изобразил многогранники в их числе ромбокубооктаэдр, построенные на гранях других фигур - так Леонардо демонстрировал перспективу. Сам трактат посвящён описанию перспективы в работах Пьеро делла Франческа, Мелоццо да Форли и Марко Пальмеццано. Да Винчи изучил "Сумму" Пачоли, скопировав оттуда таблицы с пропорциями. И "Джоконда", и "Тайная вечеря" выстроены по принципу линейной перспективы с исчезающей точкой, которая придаёт картине видимую глубину. "Тайная вечеря" использует пропорции 12:6:4:3 - они же присутствуют в "Афинской школе" Рафаэля. Изображённый на ней Пифагор держит таблицу идеальных пропорций, которым пифагорейцы придавали сакральный смысл. Витрувианский человек Леонардо отражает идеи римского архитектора Витрувия; две наложенные мужские фигуры вписаны и в круг, и в квадрат.

Уже в XV веке живописцы, интересовавшиеся визуальными искажениями, применяли криволинейную перспективу. На "Портрете четы Арнольфини" 1343 Яна ван Эйка есть выпуклое зеркало, отражающее фигуры героев. "Автопортрет в выпуклом зеркале" ок. 1523 - 1524 Пармиджанино изображает практически неискажённое лицо художника и сильно изогнутые задний план и руку, расположенную на краю.

Трёхмерные объекты можно вполне убедительно изобразить, не прибегая к перспективе. Наклонные проекции, в том числе кавалерская перспектива использовалась французскими баталистами в XVIII веке для написания фортификаций, непрерывно и повсеместно наблюдается у китайских художников с I - II по XVIII века. К китайцам эта традиция пришла из Индии, туда же - из Древнего Рима. Наклонная проекция наблюдается в японском искусстве, например, на картинах Тории Киёнаги в стиле укиё-э.

                                     

1.3. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Золотое сечение

Золотое сечение, приблизительно равное 1.618, было известно ещё Евклиду. Многие современники утверждают, что оно применялось в искусстве и архитектуре Древнего Египта, Древней Греции, однако достоверных подтверждений этому нет. Возникновение этого предположения может быть вызвано путаницей между золотым сечением и "золотой серединой", которой греки называли "отсутствие излишка во всяком из направлений". Пирамидологи с XIX века говорят о применении золотого сечения при проектировании пирамид, аргументируя позицию сомнительными математическими доводами. Скорее всего пирамиды были построены либо на основе треугольника со сторонами 3-4-5 угол наклона - 53°8, который упомянут в папирусе Ахмеса, либо на основе треугольника с косинусом π/4 угол наклона - 51°50. Фасад и пол Парфенона, построенного в V веке до н. э. в Афинах, якобы спроектированы на основе золотого сечения. Это утверждение также опровергается реальными измерениями. Считается, что золотое сечение применялось и при проектировании Великой мечети Кайруана в Тунисе. Тем не менее, данная величина не обнаруживается в оригинальном проекте мечети. Историк архитектуры Фредерик Макоди Лунд в 1919 году заявлял, что Шартрский собор XII век, ланский 1157 - 1205 и парижский собор Нотр-Дам 1160 спроектированы в соответствии с принципом золотого сечения. Некоторые исследователи утверждают, что до выхода труда Пачоли в 1509 году сечение не было известно ни художникам, ни архитекторам. Например, высота и ширина фасада ланского собора Нотр-Дам имеют отношение 8/5 или 1.6, но не 1.618. Подобная пропорция является одним из отношений Фибоначчи, которые трудно отличить от золотого сечения, поскольку они сходятся к 1.618. Золотое сечение наблюдается у последователей Пачоли, в том числе в "Джоконде" Леонардо.



                                     

1.4. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Плоскостные симметрии

Плоскостные симметрии на протяжении нескольких тысяч лет наблюдаются в ковроткачестве, мощении, тканном искусстве и создании решётчатых объектов.

Многие традиционные ковры, будь то ворсистые или килимы плоскотканые поделены на центральный медальон и бордюрную часть. Обе части могут содержать симметричные элементы, при этом симметрия ковров ручной работы часто нарушается авторскими деталями, вариацией узора и цвета. Мотивы анатолийских килимов нередко симметричны сами по себе. Общий рисунок подразумевает наличие полос, в том числе с перемежающимися мотивами, и подобий шестиугольных форм. Центральная часть может характеризоваться группой обоев pmm, в то время как обрамление - группами бордюров pm11, pmm2 или pma2. Килимы из Турции и Центральной Азии, как правило, имеют не менее трёх бордюров, описываемых разными группами. Создатели ковров определённо стремились к симметрии, хотя и не были знакомы с её математикой. Математик и теоретик архитектуры Никос Салингарос полагает, что эстетический эффект коврам придают специальные математические техники, близкие к теориям архитектора Кристофера Александера. В качестве примера он приводит конийские ковры XVII века с двумя медальонами. Эти техники подразумевают построение противопоставляемых пар объектов; цветовое противопоставление; геометрическую дифференциацию областей с помощью дополняющих фигур или координацией острых углов; введение сложных фигур начиная с отдельных узлов; построение малых и больших симметрических фигур; воспроизведение фигур в большем масштабе отношение каждого нового уровня к предыдущему составляет 2.7. Салингарос утверждает, что любой удачный ковёр соответствует по крайней мере девяти условиям из десяти. Более того, он считает возможным облечь приведённые показатели в форму эстетической метрики.

Искусные индийские решётки джали, создаваемые из мрамора, украшают дворцы и гробницы. Китайские решётки, всегда наделённые некой симметрией, - часто зеркальной, двойной зеркальной или вращательной - представлены в 14 из 17 групп обоев. Некоторые обладают центральным медальоном, некоторые - краем, принадлежащем группе бордюров. Многие китайские решётки были математически проанализированы Дэниелом С. Даем. Ему удалось установить, что центром данного искусства является провинция Сычуань.

Симметрии распространены в таких тканных искусствах, как стёжка, вязание, вязание крючком, вышивка, вышивка крестом и ткачество. Примечательно, что симметрия на ткани может быть чисто декоративной или символизировать статус обладателя. Вращательная симметрия имеет место в циркулярных объектах. Многие купола украшены симметричными узорами внутри и снаружи как, например, мечеть Шейха Лютфуллы 1619 в Исфахане. Рефлексивные и вращательные симметрии характерны для вышитых и кружевных элементов скатертей и настольных ковриков, созданных при помощи катушек или техникой фриволите. Эти объекты также подвергаются математическому изучению.

Исламское искусство демонстрирует симметрии во многих формах, в особенности это свойственно персидской мозаике гирих. Она создаётся пятью плиточными формами: правильным десятиугольником, правильным пятиугольником, вытянутым десятиугольником, ромбом и фигурой, напоминающей галстук-бабочку. Все стороны этих фигур равны, все их углы кратны 36° π/5 радиан, что даёт пяти- и десятикратные симметрии. Плитка украшена переплетающимся орнаментом собственно гирих, который обычно более заметен, чем края плитки. В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт отметили сходство гирих с квазикристаллическими плитками Пенроуза. Геометрически выверенная плитка зулляйдж является характерным элементом марокканской архитектуры. Сотовые саоды или мукарнасы трёхмерны, однако проектировались они - путём рисования геометрических ячеек - в двух измерениях.

                                     

1.5. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Многогранники

Правильные многогранники - один из распространённых сюжетов западного искусства. Малый звёздчатый додекаэдр, например, встречается в мраморной мозаике Собора Святого Марка в Венеции; авторство приписывают Паоло Уччелло. Правильные многогранники да Винчи иллюстрируют труд "О божественной пропорции" Луки Пачоли. Стеклянный ромбокубооктаэдр встречается на портрете Пачоли 1495, написанном Якопо де Барбари. Усечённый многогранник и многие другие связанные с математикой объекты присутствуют на гравюре Дюрера "Меланхолия". "Тайная вечеря" Сальвадора Дали изображает Христа и его учеников внутри гигантского додекаэдра.

Альбрехт Дюрер 1471 - 1528, гравёр и график немецкого Ренессанса, внёс свой вклад в теорию, выпустив в 1525 году книгу "Руководство к измерению" нем. Underweysung der Messung. Труд посвящён линейной перспективе, геометрии в архитектуре, правильным многогранникам и многоугольникам. Вероятно, Дюрер вдохновился работами Пачоли и Пьеро делла Франческа во время путешествий по Италии. Образцы перспективы в "Руководстве к измерению" не до конца проработаны и неточны, однако многогранники Дюрер осветил в полной мере. Именно в этом тексте впервые упомянута развёртка многогранника, то есть разворачивание например, бумажного многогранника в плоскую фигуру, которую можно напечатать. Ещё один влиятельный труд Дюрера - "Четыре книги о человеческих пропорциях" нем. Vier Bucher von Menschlicher Proportion, 1528.

Известная гравюра Дюрера "Меланхолия" изображает опечаленного мыслителя, сидящего у усечённого треугольного трапецоэдра и магического квадрата. Два этих объекта и гравюра в целом представляют для современных исследователей наибольший во всём творчестве Дюрера интерес. Петер-Клаус Шустер выпустил о "Меланхолии" двухтомную книгу, в то время как Эрвин Панофский дискутирует о произведении в своей монографии. "Гиперкубическое тело" Сальвадора Дали содержит трёхмерную развёртку гиперкуба - четырёхмерного правильного многогранника.

                                     

1.6. Истоки: от Древней Греции до Возрождения Фрактальные размерности

Традиционная индонезийская роспись на ткани батик использует в качестве резерва воск. Её мотивы могут соответствовать элементам окружающего мира например, растениям или же быть абстрактными, даже хаотическими. Резерв может наноситься неточно, крекинг растрескивание воска усиливает эффект случайности. Роспись имеет фрактальную размерность от 1 до 2, в зависимости от региона происхождения. Например, батик из Чиребона имеет размерность 1.1, размерность батика из Джокьякарты и Суракарты центральная Ява - от 1.2 до 1.5; ласемский северная Ява и тасикмалайский западная Ява обладают размерностью от 1.5 до 1.7.

Работы современного художника Джексона Поллока в капельной технике дриппинг также примечательны своей фрактальной размерностью: Картина "Номер 14" англ. Number 14, 1948 имеет размерность 1.45. Его последующие работы характеризуются более высокой размерностью, что свидетельствует о лучшей проработке закономерностей. Одна из последних картин Поллока "Синие столбы" англ. Blue Poles имеет размерность 1.72, а её написание заняло шесть месяцев.



                                     

2. Сложные взаимосвязи

Астроном Галилео Галилей в трактате "Пробирных дел мастер" писал, что вселенная написана на языке математики, и что символы этого языка есть треугольники, круги и иные геометрические фигуры. По мнению Галилея, жаждущие познать природу художники должны в первую очередь понимать математику. Математики же пытались анализировать изобразительное искусство через призму геометрии и рациональности в математическом смысле слова. Математик Фелипе Кукер предположил, что эта наука и в особенности геометрия служат сводом правил для "закономерного художественного созидания" англ. "rule-driven artistic creation", хотя и не единственным. Некоторые особо примечательные образцы этой сложной взаимосвязи описаны ниже.

                                     

2.1. Сложные взаимосвязи Математика как искусство

Математик Джерри П. Кинг пишет о математике как о искусстве, утверждая, что ключами к ней являются красота и элегантность, а вовсе не скучный формализм. Кинг считает, что именно красота мотивирует исследователей в этой области. Он цитирует эссе "Апология математика" 1940 другого математика Г. Х. Харди, где тот признаётся в любви к двум античным теоремам: доказательству бесконечности простых чисел Евклида и доказательству иррациональности квадратного корня из двух. Последнюю Кинг оценивает по выработанным Харди критериям красоты в математике: серьёзности, глубине, общности, неожиданности, неизбежности и экономии курсив Кинга и заключает, что доказательство "эстетически привлекательно". Венгерский математик Пал Эрдёш также говорит о красоте математики, не всякое измерение которой можно выразить словами: "Почему числа красивы? Равнозначно было бы спросить, почему красива Девятая симфония Бетховена. Если вы этого не видите, никто не сможет вам объяснить. Я ’знаю’’, что числа красивы."

                                     

2.2. Сложные взаимосвязи Математический инструментарий искусства

В контексте изобразительных искусств математика даёт творцу множество инструментов наподобие линейной перспективы, описанной Бруком Тейлором и Иоганном Ламбертом, или начертательной геометрии, наблюдаемой ещё у Альбрехта Дюрера и Гаспара Монжа, а ныне применяемой для программного моделирования трёхмерных объектов. Начиная со Средневековья Пачоли и Возрождения да Винчи и Дюрер художники применяли достижения математики в творческих целях. За вычетом зачатков перспективы в древнегреческой архитектуре её широкое использование началось в XIII веке, среди пионеров был Джотто. Правило исчезающей точки сформулировал Брунеллески в 1413 году. Его открытие вдохновило не только да Винчи и Дюрера, но и Исаака Ньютона, исследовавшего оптический спектр, Гёте, написавшего книгу "К теории цвета", а затем и новые поколения художников, среди которых были Филипп Отто Рунге, Уильям Тёрнер, прерафаэлиты и Василий Кандинский. Также художники исследуют симметрии, присутствующие в композиции. Математический инструментарий может применяться учёными, изучающими предметы искусства, или самими мастерами как в случае графика М. К. Эшера при участии Гарольда Коксетера или архитектора Фрэнка Гери. Последний утверждает, что системы автоматизированного проектирования дали ему совершенно новые пути самовыражения.

Художник Ричард Райт считает, что визуальные модели математических объектов служат либо для симуляции некого явления, либо являются предметами компьютерного искусства. Райт иллюстрирует свою позицию изображением множества Мандельброта, созданным клеточным автоматом и компьютерным рендером; ссылаясь на тест Тьюринга, он рассуждает, могут ли продукты алгоритмов считаться искусством. Тот же подход наблюдается и у Сашо Калайдзевского, который рассматривает визуализируемые математические объекты: паркет, фракталы, фигуры гиперболической геометрии.

Одним из пионеров компьютерного искусства был Десмонд Пол Генри, создавший "Рисовальную машину 1". Аналоговый вычислительный механизм на базе компьютера бомбового прицела был представлен публике в 1962 году. Машина могла создавать сложные, абстрактные, асимметричные, криволинейные, но повторяющиеся рисунки. Хамид Надери Йеганех создаёт фигуры рыб, птиц и иных объектов реального мира, используя семейства кривых. Современные художники, в том числе Микаэль Х. Кристенсен, работают в жанре алгоритмического искусства, создавая сценарии для программного обеспечения. Ведомая художником система применяет математические операции к заданному массиву данных.

                                     

2.3. Сложные взаимосвязи От математики к искусству

Известно, что книгу "Наука и гипотеза" 1902 математика и физика Анри Пуанкаре читали многие кубисты, в том числе Пабло Пикассо и Жан Метценже. Пуанкаре видел в евклидовой геометрии не объективную истину, но всего лишь одну из многих возможных геометрических конфигураций. Возможное существование четвёртого измерения вдохновляло художников на вызов классической перспективе ренессанса, и они обратились к неевклидовым геометриям. Одной из предпосылок кубизма стала идея о математическом - в цвете и форме - выражении сюжета. С кубизма начинается история абстракционизма. В 1910 году Метценже писал: "ничего не значит для меня, но сами формы были так же разнообразны и подлинны, как и те, что есть в природе". Фотографии Из Института Пуанкаре он использовал в произведениях по мотивам пьес Шекспира, например, при создании "Антония и Клеопатры" 1934. Обозреватель Джонатан Китс в заметке для ForbesLife утверждает, что Ман Рэй фотографировал "эллиптические параболоиды и конические точки в той же чувственной манере, в которой изображал Кики де Монпарнас", и что он "остроумно переосмыслил холодные расчёты математиков с тем, чтобы раскрыть топологию желания". Скульпторы XX века, в числе которых Генри Мур, Барбара Хепуорт и Наум Габо тоже находили вдохновение в математических моделях. О своём творении "Струнные мать и дитя" англ. Stringed Mother and Child, 1938 Мур говорил: "Несомненно источником моих струнных фигур был Музей науки;… я был очарован математическими моделями, которые увидел там;… меня взволновало не научное исследование этих моделей, но возможность смотреть сквозь струны как птица смотрит из клетки и способность видеть одну форму внутри другой."

Художники Тео ван Дусбург и Пит Мондриан основали движение "Де Стейл", которое должно было "создать визуальный словарь элементарных геометрических форм, понятный каждому и применимый к любой дисциплине". Многие их произведения выглядят как разлинованная плоскость с прямоугольниками и треугольниками, иногда - кругами. Участники "Де Стейл" писали картины, создавали мебель и интерьеры, занимались архитектурой. Когда движение распалось, ван Дусбург организовал авангардную группу "Ар конкре" фр. Art concret, "конкретное искусство". О собственной "Арифметической композиции" 1929 - 1930 ван Дусбург писал: "структура, которую можно контролировать, определённая поверхность без случайных элементов или личной прихоти", при этом "не лишённая духа, не лишённая универсального и не… пустая, поскольку всё соответствует внутреннему ритму". Критик Гладис Фабр видит в "Композиции" две прогрессии: нарастание чёрных квадратов и меняющийся фон.

Математика паркетов, многогранников, форм пространства и самовоспроизведения дала графику М. К. Эшеру 1898 - 1972 пожизненный запас сюжетов. На примере мозаик Альгамбры Эшер показал: искусство можно создавать с помощью простых фигур. Моща плоскость, он использовал неправильные многоугольники, отражения, скользящую симметрию и параллельный перенос. Создавая противоречия между перспективной проекцией и свойствами трёхмерного пространства, он изображал невозможные в реальном мире, но эстетичные конструкции. Литография "Спускаясь и поднимаясь" 1960 показывает нам лестницу невозможной конструкции, открытие которой связано с именами Лайонела отца и Роджера сына Пенроузов.

Созданные Эшером замощения достаточно многочисленны, и идеи некоторых родились в беседах с математиком Гарольдом Коксетером о гиперболической геометрии. Более всего Эшера интересовали пять многогранников: тетраэдры, кубы, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры. Фигуры неоднократно появлялись в его творчестве, но особенно они заметны в "Порядке и хаосе" 1950 и "Четырёх правильных многогранниках" 1961. Эти звёздчатые образования покоятся внутри другой фигуры, что ещё сильнее искажает угол обзора и восприятие многогранников.

Зрительная сложность паркетов и многогранников легла в основу многих художественных произведений. Стюарт Коффин создаёт головоломки-многогранники из редких сортов дерева, Джордж У. Харт занимается теорией многогранников и лепит их, Магнус Веннинджер создаёт модели звёздчатых образований.

Искажённые перспективы анаморфоза известны в живописи с XVI века. В 1553 году Ганс Гольбейн Младший написал "Послов", разместив на переднем плане сильно искривлённый череп. Впоследствии анаморфные техники пополнили арсенал и Эшера, и других графиков.

В современном искусстве заметны топологические сюжеты. Скульптор Джон Робинсон 1935 - 2007 известен работами "Гордиев узел" англ. Gordian Knot и "Узы дружбы" англ. Bands of Friendship - иллюстрациями теории узлов, выполненными в полированной бронзе. Некоторые другие скульптуры Робинсона посвящены топологии торов. "Сотворение" англ. Genesis построено по принципу колец Борромео: три окружности попарно не сцеплены, но расцепить их можно только уничтожением всей структуры. Хеламан Фергюсон ваяет поверхности и иные топологические объекты. Его работа "Восьмеричный путь" англ. The Eightfold Way создана на основе проективной специальной линейной группы PSL2, 7, конечной группы с 168 элементами. Скульптор Батшеба Гроссман также известен воплощением математических структур.

Такие объекты, как многообразие Лоренца и гиперболическая плоскость воссоздаются мастерами тканного искусства, в том числе вязания крючком. В 1949 году ткач Ада Диц выпустила монографию "Алгебраические выражения в ручной вязке" англ. Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, где предложила новые ткацкие схемы на базе расширения многомерных многочленов. Применив правило 90 для клеточного автомата, математик Джеффри Ч. П. Миллер создавал гобелены, изображавшие деревья и абстрактные узоры из треугольников; клеточные автоматы используются и для непосредственного создания цифрового визуального искусства. "Вязальщики-математики" англ. mathekniticians Пэт Эшфорт и Стив Пламмер вяжут для студентов модели гексафлексагона и других фигур. Примечательно, что связать губку Менгера им не удалось - её сделали из пластика. Проект Эшфорта и Пламмера по вязанию шерстяных платков англ. mathghans способствовал включению теории вязания в учебные планы, предлагаемые математическими и технологическими программами Великобритании.



                                     

2.4. Сложные взаимосвязи Иллюстрирование математики

Моделирование - далеко не единственный способ иллюстрации математических концепций. "Триптих Стефанески" 1320 Джотто содержит рекурсию. Центральная панель лицевой части слева внизу показывает нам самого кардинала Стефанески; преклонив колено, он предлагает малую копию "Триптиха" в качестве дара. Метафизические картины Джорджо де Кирико, в том числе "Большой метафизический интерьер" 1917 затрагивает тематику уровней представления в искусстве; де Кирико пишет картины внутри картин.

В искусстве можно запечатлеть логические парадоксы. Сюрреалист Рене Магритт создавал свои картины как семиотические шутки, подвергая сомнению отношения между поверхностями. На картине "Условия человеческого существования" 1933 изображён мольберт с холстом; пейзаж поддерживает вид из окна, рамки которого обозначены шторами. Эшер в той же манере построил сюжет "Картинной галереи" 1956: искажённый вид города, расположенная в городе галерея, сама картина как экспонат. Рекурсия продолжается ad infinitum. Магритт искажал реальность и другими способами. "Мысленная арифметика" 1931 изображает поселение, где дома соседствуют с шарами и кубоидами, будто бы детские игрушки выросли до гигантских размеров. Журналист издания The Guardian заметил, что "жутковатый план игрушечного города" стал пророчеством, провозвестив узурпацию "старых удобных форм" модернистами. При этом Магритт играет со склонностью человека к поиску закономерностей в природе.

Последняя картина Сальвадора Дали "Хвост ласточки" 1983 заключает цикл работ, вдохновлённых теорией катастроф Рене Тома. Испанский художник и скульптор Пабло Паласуэло 1916 - 2007 разработал стиль, названный им "геометрией жизни и всей природы". Произведения Паласуэло представляют собой тщательно структурированные и раскрашенные множества простых фигур. В качестве средства самовыражения он использует геометрические преобразования.

Художники не всегда воспринимают геометрию буквально. В 1979 году вышла книга Дугласа Хофштадтера "Гёдель, Эшер, Бах", где он размышляет о закономерностях человеческого мышления, в том числе связи искусства с математикой:

"Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину."

Хофштадтер упоминает парадокс "Картинной галереи" Эшера, характеризуя её как "странную петлю или запутанную иерархию" уровней реальности. Сам же художник в этой петле не представлен; ни его существование, ни факт авторства не являются парадоксами. Вакуум в центре картины привлёк внимание математиков Барта де Смита и Хендрика Ленстры. Они предполагают наличие эффекта Дросте: картина самовоспроизводится в повёрнутом и сжатом виде. Если эффект Дросте действительно присутствует, рекурсия ещё более сложна, чем заключил Хофштадтер.

                                     

2.5. Сложные взаимосвязи Анализ истории искусств

Алгоритмический анализ произведений искусства, например, рентгенофлуоресцентный, позволяет обнаруживать слои, впоследствии закрашенные автором, восстанавливать исходный вид потрескавшихся или потемневших изображений, отличать копии от оригинала и отличать руку мастера от ученической.

Техника "дриппинг" Джексона Поллока примечательная фрактальной размерностью. Возможно, контролируемый хаос Поллока родился под влиянием Макса Эрнста. Вращая ведро краски с перфорированным дном над холстом, Эрнст создавал фигуры Лиссажу. Учёный-информатик Нил Доджсон попытался выяснить, можно ли математически характеризовать полосатые полотна Бриджет Райли. Анализ расстояний между полосами "дал определённый результат", в отдельных случаях подтвердилась гипотеза о глобальной энтропии, однако автокорреляция отсутствовала, поскольку Райли варьировала закономерности. Локальная энтропия сработала лучше, что соответствовало тезисам критика Роберта Куделки о творчестве художницы.

В 1933 году американский математик Джордж Д. Биркгоф представил публике работу "Эстетическая мера" - количественную теорию эстетического качества живописи. Биркгоф исключил из рассмотрения вопросы коннотации, сфокусировавшись на геометрических свойствах "элементах порядка" картины как многоугольника. Аддитивная метрика O {\displaystyle O} принимает значения от −3 до 7 и объединяет пять характеристик:

  • имеются ли неблагоприятные свойства наподобие чрезмерной близости вершин.
  • каково число симметрий вращения;
  • имеется ли оптическое равновесие;
  • имеется ли вертикальная ось симметрии;
  • насколько фигура подобна обоям;

Вторая метрика, C {\displaystyle C} отражает количество линий, содержащих по крайней мере одну сторону многоугольника. Биркгоф определяет меру эстетичности объекта как отношение O / C {\displaystyle O/C}. Отношение можно интерпретировать как баланс между удовольствием, которое доставляет созерцание объекта, и сложностью построения. Теорию Биркгофа критиковали с разных точек зрения, упрекая его в намерении описать красоту формулой. Математик утверждал, что такого намерения не имел.

                                     

2.6. Сложные взаимосвязи Пища для исследований

Известны случаи, когда искусство служило стимулом для развития математики. Сформулировав теорию перспективы в архитектуре и живописи, Брунеллески открыл целую серию исследований, в которую вошли работы Брука Тейлора и Иоганна Ламберта по математическим основаниям перспективы. На этом фундаменте Жерара Дезарга и Жан-Виктор Понселе воздвигли теорию проективной геометрии.

Математические методы позволили Томоко Фусэ развить японское искусство оригами. Используя модули, она собирает из конгруэнтных кусков бумаги - например, квадратов - многогранники п паркеты. В 1893 году Т. Сундара Рао опубликовал работу "Геометрические упражнения в сворачивании бумаги", где давал наглядные доказательства различных геометрических результатов. К важнейшим открытиям в области математики оригами относят теорему Маэкавы, теорему Кавасаки и правила Фудзиты.

                                     

2.7. Сложные взаимосвязи От иллюзии к оптическому искусству

Оптические иллюзии, в их числе спираль Фрейзера, демонстрируют ограниченность восприятия человеком визуальных образов. Историк искусств Эрнст Гомбрих называл создаваемые ими эффекты "непонятными трюками". Чёрные и белые полосы, на первый взгляд образующие спираль, в действительности являются концентрическими кругами. В середине XX века возник стиль оптического искусства, эксплуатировавшего иллюзии для придания картинам динамики, создания эффекта мерцания или вибрации. Известными представителями направления, в силу известной аналогии также известного под названием "оп-арт", являются Бриджет Райли, Спирос Хоремис, Виктор Вазарели.

                                     

2.8. Сложные взаимосвязи Сакральная геометрия

Идея о Боге-геометре и сакральном характере геометрии всего сущего известна со времён Древней Греции и прослеживается в западноевропейской культуре. Плутарх указывает, что таких взглядов придерживался Платон: "Бог геометризует беспрестанно" Convivialium disputationum, liber 8.2. Взгляды Платона коренятся в пифагорейском понятии о музыкальной гармонии, где ноты разнесены в идеальных пропорциях, продиктованных длинами струн лиры. По аналогии с музыкой, правильные многогранники "платоновы тела" устанавливают пропорции окружающего мира и, как следствие, сюжетов в искусстве. Известная средневековая иллюстрация Бога, создающего Вселенную с помощью циркуля, отсылает к библейскому стиху: "Когда Он уготовлял небеса, я была там. Когда Он проводил круговую черту по лицу бездны" Книга притчей Соломоновых, 8:27. В 1596 году математик и астроном Иоганн Кеплер представил модель Солнечной системы - множество вложенных платоновых тел, олицетворяющую относительные размеры планетарных орбит. Картина "Великий архитектор" Уильяма Блейка, а также его монотип "Ньютон", где великий учёный изображён в образе нагого геометра, демонстрируют контраст между математически совершенным духовным миром и несовершенным физическим. Таким же образом можно интерпретировать "Гиперкубическое тело" Дали, где Христос распят на трёхмерной развёртке четырёхмерного гиперкуба. По мнению художника, божественному взору доступно на измерение больше, чем человеческому. Последнюю трапезу Христа с учениками Дали представил происходящей внутри додекаэдра исполинских размеров,

                                     
Математика и изобразительное искусство 2 класс. Раздел называется Математика и живопись, хотя, быть может, правильнее его следовало бы назвать Математика и изобразительные искусства.. .. Математика и изобразительное искусство Магия математики в искусстве, или Какая геометрия у картины. Математика и изобразительное искусство. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении. .. Математика и изобразительное искусство Математика и изобразительное искусство: симметрия в. Лучшие заведения в Китае с математикой и изобразительное искусство, эффективные программы для детей и взрослых, на каникулах и во время. .. Математика и изобразительное искусство V. Математика и живопись 1992 Волошинов А.В. Математика и. А.Г. Сечин. Математика и изобразительное искусство: симметрия в народном и профессиональном искусстве. На материале коллекции Русского музея:. .. Математика и изобразительное искусство Математика и изобразительное искусство. В данной статье рассматривается связь математики и изобразительного искусства.. .. Математика и изобразительное искусство Геометрия и искусство геометрия и искусство. Целью работы является изучение связи между искусством и математическими науками, а также изучение и анализ различных сфер. .. Математика и изобразительное искусство математические основы в изобразительном искусстве. Математика. 4. Литературное чтение. Литературное чтение. Английский язык. Риторика. Технология. 5. Изобразительное искусство. Физическая. .. Математика и изобразительное искусство Учебные предметы Российская электронная школа. Введение. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем. .. РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ЖИВОПИСИ. Изобразительное искусство. Испанский язык. Испанский язык. Литературное чтение. Литературное чтение. Математика. Математика. Музыка. Музыка.. .. Математика и изобразительное искусство Математика и искусство в Русском музее Российский центр. Сегодня в Череповце стартует двухдневный семинар Математика и изобразительное искусство. С лекциями для педагогов приедет. Расписание уроков. Партнерский проект Математика и изобразительное искусство Российского центра музейной педагогики и детского творчества Русского музея и ГБУ. .. Математика и изобразительное искусство Китай математика и изобразительное искусство. 7 мар 2008 Разработка интегрированного урока изобразительного искусства и математики по теме Создание мобиля. Урок проводится с. .. Математика и изобразительное искусство Исследовательская работа Математика в живописи. В пособии представлены рабочие программы по учебным предметам 1 класса математика, окружающий мир, изобразительное искусство, технология,. .. Математика и изобразительное искусство Математика. Окружающий мир. Изобразительное искусство. Учебные Предметы. Алгебра и начала математического анализа. Алгебра и Изобразительное искусство. Изобразительное искусство. Информатика.. .. Математика и изобразительное искусство Выдающиеся представители математического. Магия математики в искусстве, или Какая геометрия у картины лекции Математика в изобразительном искусстве воспитанникам. .. Расписание занятий, ГБОУ Школа № 978, Москва. Математика. 4. Изобразительное искусство. Физическая культура. Ритмика. Робототехника. 5. ВТОРНИК. 1. Математика. Русский язык. Русский язык.. .. Частые темы математического изобразительного искусства. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая аналитическая,. .. Интегрированный урок изобразительное искусство математика. К изобразительному искусству относятся: живопись, графика, скульптура. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство. .. Расписание уроков. .40, Технология, Математика, Музыка, Физическая культура, 4.05 12.50, Физическая культура, Русский язык, Изобразительное искусство. .. Математика и изобразительное искусство Череповецким учителям расскажут, как преподавать искусство с. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая.

Частые темы математического изобразительного искусства.

Книга известного математика и педагога Д.Пидоу посвящена использованию аппарата классической геометрии в архитектуре и изобразительном. Математика и изобразительное искусство Презентация 25348 6. Any Site Фракталы – математика в искусстве. Фракталы в изобразительном искусстве. Возвращаясь к прошлому, в искусстве человечества, как и в. Второе призвание математика Противодействие энтропии. Анатолий Фоменко, профессор математики МГУ, – человек разносторонний. Ученые рассматривают искусство вообще и изобразительное искусство. Татьяна Пушкарева, Математические основы живописи и. Изобразительное искусство Музыка ОБЖ Технология труд Физическая на примере УМК Математика авторов М.И. Моро, С.И. Волковой и др. Искусство и математика что важнее? – Souo Mos Справочник. Не только в математике, но и в природе, и в изобразительном искусстве. урока изобразительного искусства ИЗО в начальной школе 2 й класс.


ВЗАИМОСВЯЗИ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Вступление Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы. Согласно. Математика, занятия для детей в Омске После уроков. В данной статье рассматривается связь математики и изобразительного искусства. Математика в декоративно прикладном творчестве. 7 мар 2008 Разработка интегрированного урока изобразительного искусства и математики по теме Создание мобиля. Урок проводится с.


Школа раннего развития Машенька BeBest школа.

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем. Конспект интегрированного урока изобразительное искусство и. Математика и искусство Работу выполнили ученицы 9А класса гимназии. В изобразительном искусстве используется общая теория перспективы. Презентация Математика и искусство google - info.org. Математика. Окружающий мир. Изобразительное искусство. Технология. Музыка. Физическая культура Издательство Учитель 3029106 в. ИНТЕГРИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ. Проект по ИЗО Геометрические фигуры в изобразительном искусстве. В работе изучены разные геометрические фигуры и способы. Рабочие программы. 1 класс. Математика. Окружающий мир. Данный материал будет полезен для изучения темы Математика и изобразительное искусство в рамках элективного курса для 9 х. Математики свели историю живописи к изменению двух N 1. Изобразительное искусство, 2.Русский язык, 2. Математика, 1 урок. 13, 3. Физическая культура, 3.Музыка, 3.Литературное чтение, 3. Математика, 3.


Математика в изобразительном искусстве Мультиурок.

6, понедельник, 1, математика, 38, технология 1 технология 2, 41 42, русский язык 9, 4, изобразительное искусство, 46, русский язык, 33, технология. Презентация на тему: Математика и изобразительное искусство. Математика в искусстве, искусство в математике. изобразительного искусства, экранных искусств, представленная в виде прозаического. Фракталы – математика в искусстве Фракталы Any Site. Математика. 28. физическая культура. 24. русский язык. 20. 3. Математика. 28 Изобразительное искусство. 62. Живопись: обучение, профессия и кем работать EduNews. Математические кружки и курсы в Омске адресованы всем, кто хочет начальные основы математики, изобразительное искусство, английский язы.


Математика в изобразительном искусстве google - info.org.

И образования: Математика и изобразительное искусство, От пера до шариковой ручки, цикл занятий Алхимия искусства для всех возрастов от. Расписание занятий для учащихся 5 классов в 2018 2019. Презентация на тему Математика в изобразительном искусстве к уроку по математике. Аннотации и рабочие программы для начальной школы 1 4. Русский язык. 2. Математика. 3.Литературное чтение. 4. Физическая культура. 5. Изобразительное искусство. 1. Математика. 2. Русский язык. 3. Музыка. Интегрированный урок математика изобразительное искусство. Искусство и математика – два направления, на первый взгляд, совершенно В то же время искусство – это музыка, изобразительное. Исследовательская работа Математика в живописи Инфоурок. В пособии представлены рабочие программы по учебным предметам 1 класса математика, окружающий мир, изобразительное искусство, технология,.


Расписание уроков.

Изобразительное искусство. Русский язык Изобразительное искусство. Изобразительное искусство. Изобразительное искусство. 2. Математика. Синтез науки и искусства Российский центр музейной. Презентация: Математика и изобразительное искусство. Посмотрите онлайн или скачайте бесплатно в формате PowerPoint. Найдите. Математика и живопись Контент платформа google - info.org. Введение. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем.

Интегрированный урок: математика биология физика.

Математика. 4. Литературное чтение. Литературное чтение. Английский язык. Риторика. Технология. 5. Изобразительное искусство. Физическая. Расписание дети. Учебное оборудование для Математика Изобразительное искусство Музыка Интерактивное учебное пособие Наглядная математика. 5 класс. Картины геометрические. Выдающиеся представители. Так могут ли способности к математике и точным наукам помешать воплотить в жизнь творческий замысел средствами искусства?. Математика и изобразительное искусство Русский Украинский. Презентация, доклад Геометрические фигуры в искусстве. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень.


1 Изобразительное искусство Музыка Изобразительное.

Большинство людей считают, что математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины. Также многие уверены, что. Изобразительное искусство SkypeSchool репетитор по Skype. Цель проекта – творческое развитие детей и подростков через интеграцию математики с изобразительным искусством и архитектурой. Зинченко Анна Сергеевна Институт математики экономики и. Стаж: 27 лет. Преподаваемые дисциплины: математика, русский язык, литературное чтение, окружающий мир, технология, изобразительное искусство. Геометрия и искусство математика и искусство. 1а каб.205, 1, Физическая культура, 1, Литературное чтение, 1, Математика, 1, Литературное чтение, 1, Изобразительное искусство 224.


Расписание уроков Главная.

Математика и изобразительное искусство перевод в словаре русский украинский. Математика Edustrong. Всем известен такой раздел математики как геометрия. Но многие ли Искусство включает в себя изобразительное искусство, кино, архитектуру. ГБОУ ИТШ № 777 Санкт Петербурга Школа 777. 1 класс. Изобразительное искусство. Изобразительное искусство. Литературное чтение. Литературное чтение. Математика. Математика. Музыка. Расписание уроков Краснозорькинская начальная школа. Математика в изобразительном искусстве Проект подготовила учитель математики МБОУ Калининской СОШ Железникова С. Расписание уроков в начальной школе 2019 2020 учебный год 1. Математика. Авторы: Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 ч. Рабочая программа по изобразительному искусству для 1 класса составлена в. Цитаты из книги Геометрия и искусство LiveLib. Математика. Математика. Английский язык. Физическая культура. 4 Изобразительное искусство. Физическая культура. Изобразительное искусство.


Правильные многогранники в изобразительном искусстве СибАК.

Искусство Музыка Изобразительное искусство Мировая художественная культура Технология Основы безопасности жизнедеятельности. Пропорции в искусстве. Есть ли что то лучше золотого сечения. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая аналитическая,. Зачем детям в школе изобразительное искусство? Начальная. 4, 12.05 12.40, Технология, Математика, Музыка, Физическая культура, 4, 12.05 12.50, Физическая культура, Русский язык, Изобразительное искусство. Лист1 МБОУ СОШ № 226. ЭКСКЛЮЗИВ Общество Изобразительное искусство Литература Красивую математику они показали на Международной олимпиаде Кирилл Сухов, главный тренер сборной России по математике Тут Вы. Дни ур 5А каб 45 5Б каб 51 5В каб 20 5Г каб 24 1. Интегрированный урок в 6 классе математика изобразительное искусство технология ТЕМА: Симметрия вокруг нас Педагогические цели:.


Выдающиеся представители математического.

Математика и искусство связаны друг с другом множеством способов. Математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней. Физика в искусстве – внеурочная деятельность конкурсная. Данная статья посвящена связи математики с изобразительным искусством. Математика и искусство имеют длительную историю взаимоотношений. Магия математики в искусстве, или Какая геометрия у картины. И к. 1. Изобразительное искусство 6. Технология 9 11. Русский язык 16. 2. История 22. Технология 9 11. Литература 16. 3. Математика 31. История 22.


Математика 598 5cdi3chxot3e.xn - p1ai.

Особое число в математике. Тем не менее, универсальность золотого сечения в искусстве часто. Gallery содержит весьма наглядную информацию о направлениях в изобразительном искусстве. Геометрия в искусстве. Математика в искусстве Храм Богини Афины Парфенон Использование игровых приемов обучения на уроках изобразительного искусства. ЧерМО РЕСУРСНЫЙ ЦЕНТР. 3 Биология. 4 Изобразительное искусство. 5 Информатика и ИКТ. 6 История. 7 Э К. ВТОР. НИК. 1 Физкультура. 2 Литература. 3 Химия. 4 Математика. Математика как искусство. Рабочая программа по предмету Изобразительное искусство и худо жественный труд для 6 7 классов составлена в соответствии с Федеральным. Изобразительное искусство. Цифровое компьютерное изобразительное искусство является относительно. математических функций, комбинаторности, трансформативности и. Классы Российская электронная школа. Почему искусство важнее математики. Изобразительное искусство, Математика, Мировая художественная культура,.

...
Этот сайт использует куки. Файлы cookie запоминают вас, поэтому мы можем предоставить вам лучший опыт в Интернете.
preloader close
preloader